设α1，α2，…，αn是n维列向量空间Rn的一个基，A是任意一个n阶可逆矩阵，证明：n维列向量组Aα1，Aα2，…，Aαn一定是Rn的基．
证明：不妨设k1Aα1+k2Aα2+…+knAαn=0 所以 A(k1α1+k2α2+…+knαn)=0 因为 A可逆 所以 k1α1+k2α2+…+knαn=0 因为 α1，α2…αn是Rn的一个基 所以 α1，α2…αn线性无关 所以 k1=k2…=kn=0 从而Aα1，Aα2，…Aαn陀线性无关 所以 Aα1，Aα2，…Aαn也是Rn的基．
设α1，α2，…，αn是n维列向量空间Rn的一个基，A是任意一个n阶可逆矩阵，证明：n维列向量组Aα1，Aα2，…，Aαn一定是Rn的基．
证明：不妨设k1Aα1+k2Aα2+…+knAαn=0 所以 A(k1α1+k2α2+…+knαn)=0 因为 A可逆 所以 k1α1+k2α2+…+knαn=0 因为 α1，α2…αn是Rn的一个基 所以 α1，α2…αn线性无关 所以 k1=k2…=kn=0 从而Aα1，Aα2，…Aαn陀线性无关 所以 Aα1，Aα2，…Aαn也是Rn的基．
