设向量组S⊆T证明：S为T的一个极大无关组当且仅当任意一个β∈T都可以唯一地表示为S中向量的线性组合．
证明：⇒因为 S为T的一个极大无关组 所以 任意一个β∈T都可以表示为S中向量的线性组合 而且由S为线性无关组知道，这种表示式是唯一的 ⇐如果S={α1，α2，…αr}是线性相关组，则存在不全为零的 数ι1，ι2，…ιr使ι1α1+ι2α2+…+ιrαr=0，于是当β=k1α1+k2α2 +…+krαr=0时，对任意数α都有 β=k1α1+k2α2+…+krαr+α(ι1α1+ι2α2+…+ιrαr)=0 因此，当任意一个β∈T都可以唯一地表示为S中向量的线性 组合时S必为线性无关组．
