简述格拉斯曼的算术公理体系。
由于算术的一些初始命题本身十分简单明了,以至于人们很难区分哪些是公理,哪些是由公理推演出来的。19世纪中叶,德国数学家格拉斯曼才成功地建立了算术基本公理体系,解决和统一了在此之前人们一直混淆的上述问题。格拉斯曼定义:(1)自然数从1开始;(2)2为1+1;(3)3为2+1;(4)4为3+1等。又取:(1)a+(b+1)=(a+b)+1;(2)ax1=a;(3)ax(b+1)=axb+a作为公理。利用这些定义和公理,不仅可以证明加法、乘法的交换律和结合律对任意自然数都成立,还可以引出任何一个具体的结果。
