下列是两位教师在“复数概念”中引入的教学片段。 【教师甲】为了解决x2-2=0在有理数集中无解,以及单位正方形对角线的度量等问题,在初中,已经把有理数集扩充到了实数集。x2+1=0在实数集中有解吗?类比初中的做法,我们如何做呢?看来又需要扩充数集。数学家引入了i,使i是方程式x2+1=0的一个根,即使得i2=-1。把这个新数i加到实数集中去,就会得到一个新数集,记作A,那么方程x2+1=0在A中就有解x=i了。 【教师乙】16世纪,意大利数学家卡尔达诺在解决“求两个数,使其和为l0,积为40”时

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下列是两位教师在“复数概念”中引入的教学片段。 【教师甲】为了解决x2-2=0在有理数集中无解,以及单位正方形对角线的度量等问题,在初中,已经把有理数集扩充到了实数集。x2+1=0在实数集中有解吗?类比初中的做法,我们如何做呢?看来又需要扩充数集。数学家引入了i,使i是方程式x2+1=0的一个根,即使得i2=-1。把这个新数i加到实数集中去,就会得到一个新数集,记作A,那么方程x2+1=0在A中就有解x=i了。 【教师乙】16世纪,意大利数学家卡尔达诺在解决“求两个数,使其和为l0,积为40”时,认为这两个数是“5 这样我们就引入了一个新数。这节课我们学习了复数的表达式a+bi(a,b∈R),当然,复数还有其他表达法,后续的学习中我们会学习到。问题:(1)请分析这两位老师教学引入片段的特点;(12分)(2)复数还有三角表达法,请简述三角表达法的意义。(8分)

(1)甲教师引入的设计思路是温故知新,带着学生回忆初中时在已知数系中遇到解决不了的问题 时,处理方法是引入新数来扩充数集。类比得出高中遇到实数范围内解决不了的问题时,也应该想到引入新数的方 法来扩充数集,并解决问题,进而引入新课。这样做能够让学生通过复习旧知来获得解决问题的方法,对学生解决 问题的能力有一定的提高,但该教师的设计方案有些缺乏趣味性。 教师乙采用数学史导入新课。这种导入既丰富了教材中的素材又丰富了教学内容,同时激发了学生的兴趣,调动了 学生学习复数的积极性,引发了学生的数学思考。能使学生认识数学、理解数学,最终学好数学,体会到数学源于 生活并应用于生活。有利于激活学生的思维,使学习变成一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。 (2)复数的三角表示法为 z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)。这样表示的意义如下:①复数的三角表示法是彻底解决复数乘、 除、乘方和开方问题的桥梁,相比之下代数形式在这些方面显得有点力不从心,因此做好代数形式向三角形式的转 化是非常有必要的。②复数的三角表示形式可以解决三角函数相关的问题。

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