设函数f(x)在[0，2α](α＞0)上连续，f(0)=f(2α)，证明：方程f(x)=f(x+α)在[0，α]上至少有一个实根．
证明：令g(x)=f(x)-f(x+α)，则g(x)是[0，α]上的连续函数．如果f(0)=f(α)，则g(0)=f(0)-f(α)=0，即x=0是f(x) =f(x+α)的一个实根． 如果f(0)≠f(α)，则g(0)=f(0)-f(α)，而g(α)=f(α)-f(2α)=-[f(2α)-f(α)]=-[f(0)-f(α)]=-g(0)，即g(x) 在[0，α]的两个端点函数值异号，所以存在0＜x0＜α使得g(x0)=0，即x0是f(x)=f(x+α)的实根．
