设线性方程组
{x1+x2-2x3+3x4=0
{3x1+2x2-8x3+7x4=1，
{x1-x2-6x3-x4=2α
当α为何值时，方程组有解?并在有解时，求出通解．
对方程组的增广矩阵作初等行变换 (A，β)= (1 1 -2 3 ┆ 0 3 2 -8 7 ┆ 1 1 -1 -6 -1 ┆ 2α) → (1 1 -2 3 ┆ 0 0 -1 -2 -2 ┆ 1 0 -2 -4 -4 ┆ 2α) → (1 1 -2 3 ┆ 0 0 1 2 2 ┆ -1 0 0 0 0 ┆ 2(α-1)) 当α=1时，系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，方程组有解， (A，β)→ (1 1 -2 3 ┆ 0 0 1 2 2 ┆ -1 0 0 0 0 ┆ 0) → (1 0 -4 1 ┆ 1 0 1 2 2 ┆ -1 0 0 0 0 ┆ 0) 得同解方程组 {x1=4x3-x4+1 {x2=2x3-2x4-1． 令自由未知量x3=x4=0，得方程组的一个特解 η*= (1 -1 0 0) 方程组导出组的同解方程组为 {x1=4x3-x4 {x2=-2x3-2x4 令自由未知量x3，x4分别取值 (x3 x4) = (1 0)， (0 1) 得导出组的基础解系 ξ1= (4 -2 1 0) ξ2= (-1 -2 0 1) 故方程组的通解为 (1 -1 0 0) +c1 (4 -2 1 0) +c2 (-1 -2 0 1) (c1，c2为任意常数)．
