设线性方程组
{x1+x2+x3=0
{x1+αx2+2x3=0
{x1+α2x2+4x3=0
当α为何值时，方程组有非零解?并求出通解．
若齐次线性方程组有非零解，则其系数矩阵的行列式为零， |A|= |1 1 1| |1 α 2| |1 α2 4| = |1 1 1| |0 α-1 1| |0 α-1 3| =-(α-1)(α-2)=0， 即α=1或α=2． 当α=1时， A= (1 1 1 1 1 2 1 1 4) → (1 1 1 0 0 1 0 0 3) → (1 1 1 0 0 1 0 0 0) → (1 1 0 0 0 1 0 0 0) 得同解方程组 {x1=-x2 {x3=0 令自由未知量x2=1，得基础解系ξ1= (-1 1 0)， 通解为c1ξ1(c1为任意常数)． 当α=2时， A= (1 1 1 1 2 2 1 4 4) → (1 1 1 0 1 1 0 3 3) → (1 0 0 0 1 1 0 0 0) 得同解方程组 {x1=0 {x2=-x3 令自由未知量x3=-1，得基础解系ξ2= (0 1 -1)， 通解为c2ξ2(c2为任意常数)．
