设二次型f(x1，x2，x3)=4x12+3x22+3x32+2x2x3，求一个正交变换x=Qy，将二次型化为标准形．
二次型的矩阵 A= (4 0 0 0 3 1 0 1 3) 矩阵A的特征多项式为 |AE-A|= |λ-4 0 0| | 0 λ-3 -1| | 0 -1 λ-3| =(λ-2)(λ-4)2， 所以A的特征值为λ1=2，λ2=λ3=4． 对于特征值λ1=2，由方程组(2E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 |2E-A|= (-2 0 0 0 -1 -1 0 -1 -1) → (1 0 0 0 1 1 0 0 0) 得方程组的基础解系α1= (0 1 -1)， 所以A的属于特征值λ1=2的一个特征向量为α1，单位化 得β1= (0 1/√2 -1/√2) 对于特征值λ2=λ3=4，解方程组(4E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 4E-A= (0 0 0 0 1 -1 0 -1 1) → (0 1 -1 0 0 0 0 0 0) 得方程组的基础解系α2= (1 0 0)， α3= (0 1 1)， 所以A的属于λ2=λ3=4的两个线性无关的特征 向量为α2，α3，且α2与α3正交，单位化得β2= (1 0 0)， β3= (0 1/√2 1/√2) 令Q=(β1，β2，β3)= (0 1 0 1/√2 0 1/√2 -1/√2 0 1/√2)， 则Q为正交矩阵，QTAQ= (2 4 4)， 令X=Qy， 则f=yTQTAQy=2y12+4y22+4y32．
