阅读下列案例材料，然后回答问题。 张某因故意杀人被某中级人民法院判处死刑缓期二年执行。上诉期间，被告人没有上诉，检察机关也未提出抗诉。上诉期满后，在高级法院的督促下，该中级人民法院才启动死刑复核程序。复核过程中，合议庭未提审被告人即作出予以核准的裁定，在死刑缓期执行期间，张某因故意犯罪由基层人民法院进行审判，并层报最高人民法院核准执行死刑。 请指出本案存在的程序问题，并简要说明理由。
本案存在的程序问题主要有三个方面：(1)该中级人民法院在上诉期满后并未主动启动死刑复核程序。依据我国刑事诉讼法规定，死刑案件上诉、抗诉 期满后，中级法院应主动启动死刑复核程序；（4分）(2)高级法院在复核过程中并未提审被告人。依据我国刑事诉讼法规定，高级法院在复核过程中，应当提审并讯问被告人；（4分）(3)死刑缓期执行期问，张某因故意犯罪由基层人民法院进行审判。依据我国刑事诉讼法规定，在死刑缓期执行期间，被告人因故意犯罪，应当由服刑地中级法院进行一审，所作判决可以上诉、抗诉。认定构成故意犯罪的判决 发生法律效力后，应当呈报最高人民法院核准执行死刑。（4分）
