设二维随机变量(X，Y)的概率密度
f(x,y)=
{ax2+2xy2,0≤x≤1,0≤y≤1;
0,其他
试求：
(1)常数a；
(2)分布函数F(x，y)；
(3)边缘概率密度fX(x),fY(y)；
(1)由(X，Y)概率密度的性质，有 ∫+∞-∞∫+∞-∞f(x,y)dxdy =∫10∫10(ax2+2xy2)dxdy=(1/3)a+1/3=1 所以a=2． (2)由分布函数F(x，y)的定义， 当x﹤0或Y﹤0时， F(x，y)=e(X≤x，Y≤y)=0； 当0≤x﹤1，0≤y≤1时， F(x，y)=∫x-∞∫y-∞f(u,υ)dudυ =∫x0∫y0(2u2+2uυ2)dudυ =(2x3+x2+y3)/3; 当0≤x﹤1，或y≥1时， F(x，y)=∫x-∞∫y-∞f(u,υ)dudυ= ∫x0∫10(2u2+2uυ2)dudυ =(2x3+x2)/3 当x≥1，0≤y﹤l时， F(x,y，)=∫x-∞∫y-∞f(u,υ)dudυ= ∫10∫y0(2u2+2uυ2)dudυ =(2y+y3)/3 当x≥1，y≥1时， F(x,y)=∫x-∞∫y-∞f(u,υ)dudυ =∫10∫10(2u2+2uυ2)dudυ=1 因为，(X，Y)的分布函数 F(x,y)= {0, x﹤0或y﹤0； 2x3+x2y3)/3,0≤x﹤1,0≤y﹤1; (2x3+x2)/3,0≤x≤1,y≥1; 2y+y3)/3,x≥1,0≤y﹤1; 1, x≥1,y≥1； (3)fX(x)=∫+∞-∞f(x,y)dy= {∫10(2x2+xy2)dy,0≤x≤1; 0, 其他. = {2x2+(2/3)x,0≤x≤1; 0, 其他. 类似可得fY(y)= {2/3+y2,0≤y≤1; 0． 其他．
