设X服从参数为λ=1的指数分布,求以下Y的概率密度:
(1)Y=2X+1;
(2)Y=eX;
(3)Y=X2.
x的密度函数为fX(x)= {e-x x﹥0 0 x≤0 (1)由y=2x+1得x=(y-1)/2,x'=1/2 ∴fY(y)=fX[(y-1)/2]•1/2= {(1/2)e-(-[(y-1)/2](y-1)/2﹥0 0 (y-1)/2≤0 = {(1/2)e-(-[(y-1)/2] y﹥1 0 y≤1 (2)由y=ex得x=lny,x'=1/y fY(y)=fX(lny)•1/y= {e-lny•1/y lny﹥0 0 lny≤0 = {1/y2 y﹥1 0 y≤1 (3)y=x2∈[0,+∞) 当y﹥0时,FX(y)=p{Y≤y}=p{X2≤y}=P{-√y≤X≤√y}=P{0﹤X≤√y}=FX(√y)-FX(0) ∴FY(y)=F'Y(y)=1/(2√y)fX(√y)=1/(2√y)e-√y ∴FY(y)= {(1/2√y)e-√y y﹥0 0 y≤0