设f(x,y,z)为连续函数,∑为平面x-y+z=1在第四卦限部分的上侧,求
I=∬∑[f(x,y,z)+x]dydz+[2f(x,y,z)+y]dzdx+[f(x,y,z)+z]dxdy.
平面∑上侧法向量的方向余弦为 cosα=1/√3,cosβ=-1/√3,cosγ=1/√3• 则由两类曲面积分之间的关系,得 I=1/√3 ∬∑[f(x,y,z)+x-2f(x,y,z)-y+f(x,y,z)+z]dS =1/√3 ∬∑(x-y+z)dS=1/√3 ∬∑dS=(1/√3)S, 这里S是∑的面积,而∑是边长为√2的正三角形,故S=√3/2,因此I=1/2.