设函数f(x)在[a，b]上连续，且恒大于零，证明∫abf(x)dx•
∫ab[1/f(x)]dx≥(b-a)2.
[证明]由于∫abf(x)dx•∫ab[1/f(x)]dx． =∫abf(x)dx•∫ab[1/f(y)]dy=∫∫D[f(x)/f(y)]dσ,① 其中，D={(x,y)∣a≤x≤b,a≤y≤b}．同样，∫abf(x)dx•∫ab[1/f(x)]dx=∫∫D[f(y)/f(x)]dσ ② ①+②得 2∫abf(x)dx•∫ab[1/f(x)]dx= ∫∫D{[f(x)/f(y)]+[f(y)/f(x)]}dσ≥∫∫D2√[f(y)/f(x)][f(x)/f(y)]dσ=2(b-a)2, 即∫abf(x)dx•∫ab[1/f(x)]dx≥(b-a)2.
