证明：方程ax+by+cz=F(x2+y2+zz)(F是任意的可微分函数)所确定的函数z=z(x，y)满足关系式
(cy-bz)∂z/∂x+(az-cx)∂z/∂y=bx-ay．
[证明] 设u=x2+y2+z2，将方程分别关于x，y求偏导数 得 a+c(∂z/∂x)=dF/du[2x+2z(∂z/∂x)], b+c(∂z/∂y)=dF/du[2y+2z(∂z/∂y)], 整理得 ∂z/∂x[c-2z(dF/du)]=2x(dF/du)-a, ∂z/∂y[c-2z(dF/du)]=2y(dF/du)-b, 而有 ∂z/∂x=[2x(dF/du)-a]/[c-2z(dF/du)], ∂z/∂y=[2y(dF/du)-b]/[c-2z(dF/du)] 所以(cy-bz)z/x+(az-cx) ∂z/∂y ={(cy-bz)[2x(dF/du)-a]+(az-cx)[2y(dF/du)-b]}/[c-2z(dF/du)] =[c-2z(dF/du)](bx-ay)/[c-2z(dF/du)]=bx-ay
