设矩阵A与B相似．证明：AT～BT．
[证明] 由于A～B，故存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=B⇒(P-1AP)T=BT， 即 PTAT(P-1)T=BT， 亦即 PTAT(PT)-1=BT (*) 由于P可逆，所以PT可逆，(PT)-1也可逆，记Q=(PT)-1，由式*得知存在可逆阵Q，使 Q-1ATQ=BT， 即 AT～BT．
设矩阵A与B相似．证明：AT～BT．
[证明] 由于A～B，故存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=B⇒(P-1AP)T=BT， 即 PTAT(P-1)T=BT， 亦即 PTAT(PT)-1=BT (*) 由于P可逆，所以PT可逆，(PT)-1也可逆，记Q=(PT)-1，由式*得知存在可逆阵Q，使 Q-1ATQ=BT， 即 AT～BT．
