设λ<sub>1</sub>≠λ<sub>2</sub>为矩阵A的特征值，x<sub>1</sub>，x<sub>2</sub>分别为对应于λ<sub>1</sub>，λ<sub>2</sub>的特征向量，证明x<sub>1</sub>+x<sub>2</sub>不是A的特征向量．

设λ₁≠λ₂为矩阵A的特征值，x₁，x₂分别为对应于λ₁，λ₂的特征向量，证明x₁+x₂不是A的特征向量．

分类：线性代数（经管类）
发表：2023年09月09日 23时09分22秒
作者： admin
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设λ₁≠λ₂为矩阵A的特征值，x₁，x₂分别为对应于λ₁，λ₂的特征向量，证明x₁+x₂不是A的特征向量．

[证明] 采用反证法设x₁+x₂是矩阵A关于特征值λ的特征向量，由定义，A(x₁+x₂)=λ(x₁+x₂)．于是Ax₁+Ax₂=λx₁+λx₂，又x₁，x₂分别是矩阵A对应λ₁和λ₂的特解所以 Ax₁=λ₁x₁，Ax₂=λ₂X₂，所以 λ₁x₁+λ₂x=λx₁+λx₂ 即 (λ₁-λ)x₁+(λ₂-λ)x₂=0 因x₁，x₂是矩阵A关于不同特征值的特征向量，所以x₁与x是线性无关的，从而λ₁-λ=0，λ₂-λ=0即λ₁=λ，λ₂=λ，故λ₁=λ₂矛盾．因此x₁+x₂不是A的特征向量•

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