设η<sub>0</sub>，η<sub>1</sub>，η<sub>2</sub>，…，η<sub>s</sub>是非齐次线性方程组Ax=b的线性无关解，证明η<sub>1</sub>-η<sub>0</sub>，η<sub>2</sub>-η<sub>0</sub>，…，η<sub>s</sub>-η<sub>0</sub>是齐次线性方程组Ax=0的线性无关解．

设η₀，η₁，η₂，…，η_s是非齐次线性方程组Ax=b的线性无关解，证明η₁-η₀，η₂-η₀，…，η_s-η₀是齐次线性方程组Ax=0的线性无关解．

分类：线性代数（经管类）
发表：2023年09月09日 23时09分21秒
作者： admin
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设η₀，η₁，η₂，…，η_s是非齐次线性方程组Ax=b的线性无关解，证明η₁-η₀，η₂-η₀，…，η_s-η₀是齐次线性方程组Ax=0的线性无关解．

证明：对于任意i，A(η_i-η₀)=Aη_i-Aη₀=b-b=0，所以η₁-η₂，η₂-η₀，…，η_s-η₀是Ax=0的解，又设k₁(η₁-η₀)+k₂(η₂-η₀)+…+k_s(η_s-η₀)=0 则k₁η₁+k₂η₂+…+k_sη_s+(-k₁-k₂-…-k_s)η₀=0 根据η0，η₁，η₂，…，η_s线性无关，得k₁=k₂=…=k_s=-k₁-k₂-…一k_s=0 所以η₁-η₀，η₂-η₀，…，η_s-η₀是Ax=0的线性无关解．

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