设向量组S⊆T．证明：S为T的一个极大无关组当且仅当任意一个β∈T都可以惟一地表示为S中向量的线性组合．
[证明]⇒因为，S为丁的一个极大无关组． 所以，任意一个β∈T，都可以表示为S中向量的线性组合．而且由S 为线性无关组知道．这种表示式是惟一的 ⇐如果S={α1，α2，…，αr)是线性相关组．则存在不全为D的数 L1，L2，…，L使L1α1+L2α2+…+Lrαr=0． 于是当β=k1α1+k2α2+…+krαr=0时．对任意数α都有 β=k1α1+ k2α1+…+krαr+α(L1α1+L2α2+…+Lrαr)=0矛盾． 因此，当任意一个β∈T 都可以惟一地表为S中向量的线性组合时S必为线性无关组．
