试证:向量组α1,……,αm线性相关充要条件是其中至少有一向量可由其余向量线性表示。
当α1,α2,…,αm线性相关时,存在不全为0的常数k1, k2,…,km使得 k1α1+k2α2+…+kmαm=0 不妨设某个ks≠0,则αs=[-(k1/ks)]α1+…+[-(ks-1/ks)]αs-1+[-(ks+1/ks)]αs+1+…[-(km/ks)]αm 即αs可由其余向量线性表示. 反之,当α1,α2,…,αm中某一向量可由其余向量线性表示,不妨设某个αs可由其余向量线性表示,即αs=λ1α1+…+λs-1αs-1+λs+1αs+1+…+λmαm,则λ1α1+…+λs-1αs-1+(-1)•αs+λs+1/sub>αs+1+…+λmαm=0而令k1=λ1,…,ks-1=λs-1,ks=-1,ks+1=λs+1,…,km=λm,则k1,…,km不全为0并且k1α1+…+kmαm=0,所以α1,α2,…,αm线性相关.