设η为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，
ξ1，ξ2，…，ξr是其导出组Ax=0的一个基础解系．证明η，ξ1，ξ2，
…，ξ1线性无关•
[证明]证一：因为ξ1，ξ2，…，ξr是Ax=0的基础解系. 所以ξ1，ξ2，…，ξr线性无关． 若η，ξ1，ξ2，…，ξr线性相关， 则η必可由ξ1，ξ2，…，ξr线性表出， 从而η为Ax=0的解，这与η为Ax=b的解矛盾， 故η，ξ1，ξ2，…，ξr线性无关． 证二(反证法)：若η，ξ1，ξ2，…，ξr线性相关，则存在不全为零的 数 ι，k1，k2，…，kr使ιη+k1ξ1+k2ξ2+…+krξr=0． 若ι≠0，则η=-(k1/ι)ξ1-(k2/ι)ξ2-…-(kr/ι)ξr 即η可以由ξ1，ξ2，…，ξr线性表出，由此可得 η为Ax=0的解，与已知矛盾，故ι=0． 从而k1，k2，…，kr不全为零，使k1ξ1+k2ξ2+…+krξr=0， 这表明ξ1，ξ2，…，ξr，线性相关，与ξ1，ξ2，…，ξr为Ax=0的基础 解系矛盾． 所以η，ξ1，ξ2，…，ξr线性无关．
