设向量组(I)可由向量组(Ⅱ)线性表出，它们的秩分别为
r1，r2，证明r1≤r2．
[证明]设向量组(I)A=(α1，α2，…，αs)T，向量组(Ⅱ)B= (β1，β2，…，βs)T，(α1，α2，…，αr1)T是A的极大无关组，即R (α1，α2，…，αr1)T=r1；(β1，β2，…，βr2)T是B 的极大无关组， 即r(β1，β2，…，βr2)=r2． 因为，(α1，α2，…，αr1)T也可由(β1，β2，…，βr1)T线性表示． 所以，(I)的秩不会超过(Ⅱ)的秩，即r1≤r2．
设向量组(I)可由向量组(Ⅱ)线性表出，它们的秩分别为
r1，r2，证明r1≤r2．
[证明]设向量组(I)A=(α1，α2，…，αs)T，向量组(Ⅱ)B= (β1，β2，…，βs)T，(α1，α2，…，αr1)T是A的极大无关组，即R (α1，α2，…，αr1)T=r1；(β1，β2，…，βr2)T是B 的极大无关组， 即r(β1，β2，…，βr2)=r2． 因为，(α1，α2，…，αr1)T也可由(β1，β2，…，βr1)T线性表示． 所以，(I)的秩不会超过(Ⅱ)的秩，即r1≤r2．
