为自己加油

证明：如果A是正定实对称阵，那么A^-1和A*(古曲伴随方
阵)也是正定实对称方阵。

[证明] 证法1 ：因为(A^-1)T=(AT)^-1=A^-1，所以A^-1是 实对称阵．设λ_i为A的特征根(i=1，…，n)，则λ_i^-1是A^-1的 特征根．(因由Ax_i=λ_ix_i可得A^-1x_i=1/λ_ix_i) 所以 A正定⇔λ_i＞0⇔A^-1正定． 证法2 因为A正定，所以对任x≠0，有x^TAx)＞0，作可逆线 性代换x=A^-1y，得 0＜x^TAx=(A^-1y)^TA(A^-1y)=y^T(A^-1)^TAA^-1 y=y^tA^-1y 所以A^-1正定，(因为上式对任意y≠0成立) 又因为 A*=(detA)A^-1⇒(A*)^T=A* 故对任意x≠0，有 x^TA*x=x^T(detA)A^-1x=(detA)x^TA^-1 x＞0 所以A*正定． 最后一个大于号是因为detA＞0(因为A正定)，及x^TA^-1x＞0对任x≠0成立(因A^-1正定)．