设n阶实对称矩阵A为正定矩阵，B为n阶实矩阵，证明BTAB为正定矩阵的充分必要条件是|B|≠0．
证明：如果|B|≠0，则齐次线性方程组BX=0仅有零解，所以 对一切非零向量X有y=BX也是非零向量，而A正定，因此 XT(BTAB)X=(BX)T(BX)=YTAY>0 即BTAB正定． 反之，如果BTAB正定，则|BTAB|＞0 所以|BT|A|•|B|=|A|•|B|2＞0，当然有|B|≠0．
设n阶实对称矩阵A为正定矩阵，B为n阶实矩阵，证明BTAB为正定矩阵的充分必要条件是|B|≠0．
证明：如果|B|≠0，则齐次线性方程组BX=0仅有零解，所以 对一切非零向量X有y=BX也是非零向量，而A正定，因此 XT(BTAB)X=(BX)T(BX)=YTAY>0 即BTAB正定． 反之，如果BTAB正定，则|BTAB|＞0 所以|BT|A|•|B|=|A|•|B|2＞0，当然有|B|≠0．
