用正交变换将二次型化为标准型并求出相应的正交矩阵．
f(x1,x2,x3)
=4x22-3x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3
解：二次型的矩阵为A= ( 0 2 -2 2 4 4 -2 4 -3) 特征多项式为|λI-A|= | λ -2 2| |-2 λ-4 -4| | 2 -4 λ+3| =(λ-1)(λ3-36) 所以A的特征值为λ1=1，λ2=6，λ3=-6 解齐次线性方程组(I-A)X=0求出属于λ1=1的特征向量 a1= ( 2 0 -1) 解齐次线性方程组(6I-A)X=0求出属于λ2=6的特征向量a3= (1 5 2) 再解齐次线性方程组(-6I-A)X=0求出属于λ3=-6的特征向量a3= ( 1 -1 2) a1,a2,a3是正交向量组，再单位化得 β1=a1/||a1||=1/√5 ( 2 0 -1) β2=a2/||a2||=1/√30 (1 5 2) β3=a3/||a3||=1/√6 ( 1 -1 2) 令U=(β1,β2,β3)= ( 2/5 1/√30 1/√6 0 5/√30 -1/√6 -1/√5 2/√30 2/√6) 则U为正交矩阵， 并且经正交变换X=UY，二次型化为标准型为 y12+6y22-6y32
