为自己加油

设二维随机变量(X，Y)的概率密度
f(x，y)=
{ke^-(5x+6y)，x＞0，y＞0；
{0，其他
(1)求常数k；
(2)证明X与Y相互独立．

(1)由(X，Y)的概率密度的性质，有 ∫^+∞_-∞∫^+∞_-∞f(x，y)dxdy=∫^+∞₀∫^+∞₀ke^-(5x+6y)dxdy =k∫^+∞₀e^-5xdx∫^+∞₀e^-6ydy =k[-(e^-5x/5)]|^+∞₀[-(e^-6y/6)]|^+∞₀ =k/30 =1 所以k=30． (2)f_X(x)=∫^+∞_-∞f(x，y)dy= {∫^+∞₀30e^-(5x+6y)，dx，x＞0； {0，其他 ={5e^-5x，x＞0； {0， 其他 f_Y(y)=∫^+∞_-∞f(x，y)dy= {∫^+∞₀30e^-(5x+6y)dx，y＞0． {0， 其他． = {6e^-6y， y＞0； {0， 其他 所以有 f(x，y)=f_X(x)•f_Y(y)， 从而X与Y相互独立．