为自己加油

设θ̂₁及θ̂₂是θ的两个独立的无偏估计量，假定D(θ̂₁)=2D(θ̂₂)．求常数C₁及C₂，使θ̂=C₁θ̂₁+C₂θ̂₂为θ的无偏估计，并使D(θ̂)达到最小．

由于θ ̂₁，θ ̂₂，是θ的两个独立的无偏估计，则有 E(θ ̂₁)=θ，E(θ ̂₂)=θ． 要使θ ̂=C₁θ ̂₁+C₂θ ̂₂为θ的无偏估计，则有 E(θ ̂)=E(C₁θ ̂₁+C₂θ ̂₂)=C₁θ ̂+C₂θ ̂=θ， 即C₁，C₂必须满足C₁+C₂=1 又D(θ ̂₁)=2D(θ ̂₂)，则θ ̂₁比θ ̂₁有效，而 D(θ)/D(θ ̂₂)=[D(C₁θ ̂₁+C₂θ ̂₂)]/D(θ ̂₂)=[2C²₁D(θ ̂₂)+C²₂D(θ ̂₂)]/D(θ ̂₂) =2C²₁+C²₂=2C²1₃+(1-C)² =3C²₁-2C₁+1=3(C₁/2)²+2/3． 所以C₁=1/3时，D(θ ̂)/D(θ ̂₂)即C₁=1/3，C₂=2/3时， θ ̂=C₁θ ̂₁+C₂θ ̂₃为θ的无偏估计，并使D(θ ̂)最小．