求下列函数的极值:
(1)y=x3-9x2-27;
(2)y=x+√(1-x);
(3)y=-x4+2x2;
(4)y=x2e-x;
(5)y=3-2(x+1)1/3.
(1)令f(x)=y=x3-9x2-27,易知f(x)的定义域为(-∞,+∞),而 f'(x)=3x2-18x,f''(x)=6x-18, 令f'(x)=0,得x=0或x=6. 当x=0时f'(x)=-18,当x=6时,f'(x)=18,故f(x)在x=0处取得极大值 f(0)=-27,在x=6处取得极小值f(6)=-135. (2)令f(x)=y=x+√(1-x),则f(x)的定义域为(-∞,1],而 f'(x)=1+(-1/[2√(1-x)]=[2√(1-x)-1]/[2√(1-x)], 令f'(x)=0,得x=3/4,列表如下: x (-∞,3/4) 3/4 (3/4,1] f'(x) + 0 - f(x) ↗ 极大值 ↘ 故f(x)在x=3/4处取得极大值f(3/4)=5/4. (3)令f(x)=y=-x4+2x2,则f(x)的定义域为(-∞,+∞),而 f'(x)=-4x3+4x,f''(x)=-12x2+4, 令f'(x)=0,得x=0,或±1. f''(0)=4,f''(1)=-12+4=-8,f''(-1)=-8, 所以f(x)在x=0处取得极小值f(0)=0,在x=±1处取得极大值f(±1)=1. (4)y的定义域为(-∞,+∞), y'=2xe-x-x2e-x,y''=2e-x-4xe-x+x2e-x, 令y'=0,得xc=0或2. 当x=0时y''(0)=2;当x=2时y''(2)=2e-2. 故y在x=0处取得极小值y(0)=0,在x=2处取得极大值y(2)=4e-2. (5)y的定义域为(-∞,+∞), y'=[-(2/3)(x+1)]-(2/3)<0, 故y在定义域(-∞,+∞)上为减函数,没有极值.