设列向量α1，α2，…，α3，β1，β2，…，βt∈Rn，构造矩阵
A=(α1，α2，…，αs)，B=(β1，β2，…，βt)，
C=(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)．
证明：如果r(A)=r1，r(B)=r2，r(C)=r3，则max(r1，r2)≤r3≤r1+r2．
证明：由于α1，α2，…，αs，可由α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性表出，故 r(α1，α2，…，αs)≤r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)， 即 r(A)≤r(C)； 又β1，β2，…，βt，可由α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性表出，故 r(β1，β2，…，βt)≤r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)， 即 r(B)≤r(C)． 由r(A)≤r(C)和r(B)≤r(C)，有max(r(A)，r(B))≤r(C)，即max(r1，r2)≤r3． 又由于r(A)=r1，r(B)=r2，设αi1，αi2…，αir1和βi1，βj2，…，βjr2，分别为向量组α2，α2， …，αs和β1，β2，…，βt的一个极大无关组，则α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt可由αi1，αi2，…，αir1，βj1，βj2，…，βjr2线性表出，故r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)≤r(αi1，αi2…，αir1，βj1，βj1，…，βj2)≤r1+r2． 得到r(C)≤r(A)+r(B)，即r3≤r1+r2． 将两个结果合并起来，有max(r1，r2)≤r3≤r1+r2．
