为自己加油

求下列微分方程的通解：
(1)ydy=xdx；
(2)ydx=xdy；
(3)(x+xy²)dx+(y-x²y)dy=0；
(4)dy/dx=e^x+y；
(5)xy′-ylny=0；
(6)cosxsinydx+sinxcosydy=0；
(7)sec²xtanydx+sec²ytanxdy=0；
(8)(e^x+y-e^z)dx+(e^x+y+e^y)dy=0．

(1)ydy=xdx 两边积分得：∫ydy=∫xdx 即：(1/2)y²=(1/2)x²+C ∴y=x²+C (2)ydx=xdy dx/x=dy/y ∫(1/x)dx=∫(1/x)dy ∴In∣x∣=In∣y∣+C 即：y=Cx (3)(x+xy²)dx+(y-x²y)dy=0 x(1+y²)dx+y(1-x²)dy=0 x/(1-x²)dx+[y/(1+y²)]dy=0 y/(1-y²)dy=x/(x²-1)dx ∴∫[y/(1-y²)]dy=ln(x²-1)dx ∴In(1+y²)=ln(x²-1)+C ∴y²=C(x²-1)-1 即1+y²=C(x²-1) (4)dy/dx=e^x+y e^-ydy=e^xdx ∫e^-ydy=∫e^xdx -e^-y=e^xdy+C ∴e^-y+e^-y=C (5)xy′-ylny=0 ∴dy/ylny=dx/x 两边积分得： In(lny)=lnx+C ∴lny=Cx y=e^cx (6)cosxsinydx+sinxcosydy=0 ∴-(cosx/sinx)dx=(cosy/siny)dy ∫[-(cosx/sinx)dx]=∫(cosy/siny)dy -In(sinx)=In(siny)+C ∴1/sinx=Csiny ∴sinx•siny=C (7)sec²x•tanydx+sec²ytanxdy=0 ∴(sec²x/tanx)dx=-(sec²y/tany)dy dx/sinxcosx=-(dy/cosysiny) ∫dx/sinxcosx =-∫dy/cosysiny ∫dsinx/[sinx(1-sin²x)] =-∫dsinx/[siny(1-sin²y)] tanxtany=C (8)(e^x+y-e^x)dx+(e^x+y+e^y)dy=0 ∴[e^x/(e^x+1)]dx=-[e^y/(e^y+1)]dy 两边积分得： ln(1+e^x) =-ln(1+e^y)+C ∴(e^x+1)(e^y-1)=C