求下列方程满足初始条件的特解．
(1)(y+3)dx+cotxdy=0，y|x=0=1；
(2)x2(d2y/dx2)-(dy/dx)2=0，y=|x=12，y′|x=1=1；
(3)(1-x2)y′′=xy，=0，y|x=0=0，y′|x=0=1
(4)y′′+4y′+13y=0，y|x=0=0，y′|x=0=3．
(1)原方程可化为-tanxdx=[1/(y+3)]dy 两边积分得 -∫tanxdx=∫[1/(y+3)]dy ln(y+3)=lncosx+lnC 故原方程的通解为 y=Ccosx-3 把初始条件y|x=0=1代入得 C=4 于是所求特解为 y=4cosx-3 (2)令p=d/dxy，则d2y/dx2=dp/dx，代入原方程得x3dp/dx-p2=0 分离变量积分得 ∫(1/p2)dP=∫(1/x3)dx 1/p=1/2x2+C1 把初始条件y′|x=1=p|x=1=1代入上式得 C1=1/2 于是有 dx/dy=(1+x2)/2x2 即 dy=2x2/(1+x2)dx 两边积分得 y=2x-2arctanx+C1 把初始条件y|x=1=2代入上式得 C2=π/2 故所求特解为 y=2x-2arctanx+π/2 (3)令p=y′，则y′′=dp/dx，代入原方程得(1-x2)dp/dx-xp=0 分离变量积分得 ∫(1/p)dp=∫[x/(1-x2)]dx lnp=-1/2ln(1-x2)+lnC1 p=C1/√1-x2 把初始条件y|x=0=p|x=0=1代入得 C1=1 于是有 dy/dx=1/√1-x2 两边积分得 y=(∫1/√1-x2)dx=arcsinz+C2 把y|x=0=0代入上式得 C2=0 故所求特解为 y=arcsinx (4)特征方程为 λ2+4λ+13=0 特征根为 λ1=-2+3i，λ2=-2-3i 故原方程的通解为 y=e-2x(C1cos3x+C2sin3x) 则 y′=2e-2x(C1cos3x+C2sin3x)+e-2x(-3C1sin3z+3C2cos3z) 把y|x=0=0，y|x=0=3代入解得 C1=0，C2=1 故所求特解为 y=e-2xsin3x
