为自己加油

简算下列三重积分：
(1)I=∫₀¹dx∫₀¹dy∫₀¹
xyze^x+ydz；(提示：表示为三个定积分的乘积)
(2)I=∫∫∫_Ω6dυ，其中Ω：x²+y²+z²≤1；(提示：利用球体的体积公式(4/3)πR³)
(3)I=∫∫∫_Ωzsinxsiny²dυ，其中Ω：x²+y²+z≤4,z≥0；(提示：利用对称奇偶性)
(4)I=∫∫∫_Ωx⁴y³z³dυ，其中Ω：0≤x≤1，-1≤y≤1，0≤z≤
x²+y²；(提示：利用对称奇偶性)
(5)I=∫∫∫_Ω(x+y+z)²dυ，其中Ω：x²+y²+z²≤1(提示：利用对称奇偶性，球面坐标)

(1)I=∫₀¹dx∫₀¹dy∫₀¹xyze^x+ydz= ∫₀¹xe^xdx∫₀¹ye^y∫₀¹zdz =∫₀¹xe^xdx∫₀¹(1/2)ye^ydy 由∫₀¹xe^xdx=∫₀¹xde^x=xe^x ∣₀¹-∫₀¹e^xdx=xe^x∣₀¹ -e^x∣₀¹=e-e+1=1 ∴I=1•(1/2)•1=1/2 (2)I=∫∫∫_Ω6dυ=6V_球=6•(4/3)π•1³=8π (3)∵Ω：x²+y²+z≤4，z≥0，关于y轴对称zsinxsiny²关于x是奇函数 ∴I=∫∫∫_Ωzsinxsiny²dυ=0 (4)∵Ω关于Z轴对称 x⁴y³z²关于y是奇函数 ∴I=∫∫∫_Ωx⁴y³z²dυ=0 (5)令x=rsinφcosθ，y=rsinφsinθ，z=rcosφ，则： I=∫∫∫_Ω(x+y+z)²dO =8∫₀^π/2dθ∫₀^π/2d∫₀¹ r⁴sinφ(sinφcosθ+sinφsinθ+cosφ)² dr =8/5∫₀^π/2dθ∫₀^π/2sinφ(sinφscosθ+sinφsinθ+cosφ)²dφ =8/5∫₀^π/2dθ∫₀^π/2[1+sin2θ•sin²φ+sin2φ(cosθ+sinθ)dφ =(4/5)π