为自己加油

简算下列二重积分：
(1)I=∫∫_Dxsinydxdy，其中D：1≤x≤2，0≤y≤π/2；(提示：化为两个单积分)
(2)I=∫∫_D3dxdy，其中D：4x²+9y²≤36；(提示：利用椭圆的面积公式πab)
(3)I=∫∫_Dsinx•cosy²dxdy，其中D：x²+y²≤4；(提示：利用对称奇偶性)
(4)I=∫∫_Dx²ydxdy，其中D：1≤x≤2，y²≤x；(提示：利用对称奇偶性)
(5)I=∫∫_D(xy²+x²y)dxdy，其中D：x²+y²≤4；(提示：利用对称奇偶性)
(6)I=∫∫_D(x+y)²dxdy,其中D：x²+y²≤1；(提示：利用对称奇偶性，极坐标)

(1)I=∫∫_Dxsinydxdy=∫₁²xdx∫₀^π/2sinydy =∫₁²[x(-cosy)∣₀^π/2]dx= ∫₁²xdx=x²/2∣₁²=3/2 (2)I=∫∫_D3dxdy=3S_椭圆=3π•2•3=18π (3)∵D关于y轴对称，sinx•cosy²关于x是奇函数 ∴I=∫∫_Dsinxcosy²dxdy=0 (4)∵D关于x轴对称，x²y关于y是奇函数 ∴=∫∫_Ddxdy=0 (5)∵=∫∫_D(x²y+xy²)dxdy=∫∫_Dx²ydxdy+∫∫_Dxy²dy 而D关于x轴、y轴都对称，x²y关于y是奇函数，xy ²关于x是奇函数 ∴∫∫_Dx²ydxdy=0,∫∫_Dxy²dxdy=0 ∴I=0 (6)令x=rcosθ，y=rsinθ，则： I=∫∫_D(x+y)²dxdy= 2∫₀^πdθ∫₀¹(rcosθ+rsinθ)²rdr =2∫₀^πdθ∫₀¹r(r²+rsin2θ)dr= 2∫₀^π[r⁴/4+(sin2θ/3)r³∣₀¹]dθ =2∫₀^π(1/4+sin2θ/3)dθ=2(θ/4-cos2θ/6)∣₀^π=π/2