设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=O且a≠6.证明：A可对角化.
【证明】由(aE-A)(bE-A)=O，得|aE-A|·|bE-A|=0，则|aE-A|=0或者 |bE-A|=0.又由(aE-A)(bE-A)=O，得r(aE-A)+r(bE-A)≤n. 同时r（aE-A）+r(bE-A)≥r［(aE-A)-(bE-A)］=r［（a-b）E］=n， 所以r(aE-A)+r(bE-A)=n. (1)若|aE-A|≠0，则r（aE-A=n，所以r(bE-A)=0，故A=bE. (2)若|bE-A|≠0，则r(bE-A)=n，所以r(aE-A)=0，故A=aE. (3)若|aE-A|=0且|bE-A|=0，则a，b都是矩阵A的特征值. 方程组(aE-A)X=0的基础解系含有n-r（aE-A）个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n-r（aE-A）个； 方程组(bE-A)X=0的基础解系含有n-r(bE-A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n-r(bE-A)个. 因为n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化.
