设,在x=0连续,且对任何x,y∈R有f(x﹢y)=f(x)﹢f(y) 证明:(1)f在R上连续;(2)f(x)=xf(1)。
(1)因f(0) =f(0+0)=f(0) +f(0) =2f(0),所以f(0)=0。又对任意算∈(一∞,+∞)有△y=f(x+△x) -f(x) =f(x) +f(△x) -f(x) =f(△x) (2)先证对任意有理数r,都有以rx)=rf(x)。事实上,令y=x,得以2x)=2f(x),由数学归纳法
设,在x=0连续,且对任何x,y∈R有f(x﹢y)=f(x)﹢f(y) 证明:(1)f在R上连续;(2)f(x)=xf(1)。
(1)因f(0) =f(0+0)=f(0) +f(0) =2f(0),所以f(0)=0。又对任意算∈(一∞,+∞)有△y=f(x+△x) -f(x) =f(x) +f(△x) -f(x) =f(△x) (2)先证对任意有理数r,都有以rx)=rf(x)。事实上,令y=x,得以2x)=2f(x),由数学归纳法