设A是一个mxn矩阵，证明：矩阵A的行空间维数等于它的列空间维数。
证明
设矩阵行空间的维数为r，列空间维数为rl’ α1，α2，…αn为矩阵A的行向量组，不妨设αl，α2，…αγ为一组基所以方程组
只有零解．
即线性方程绸
只有零解，
则其系数矩阵
的行向量空间的维数≥r， 因此它的行向量组可以找到r个线性无关的向量，不妨设为
也线性无关．它们正好是矩阵A的r个列向量，则矩阵A的列空间的维数r。≥r。
同理可证r≥rl，所以r=n，即矩阵A行空间的维数等于它列空间的维数。
设A是一个mxn矩阵，证明：矩阵A的行空间维数等于它的列空间维数。
证明设矩阵行空间的维数为r，列空间维数为rl’ α1，α2，…αn为矩阵A的行向量组，不妨设αl，α2，…αγ为一组基所以方程组只有零解．即线性方程绸只有零解，则其系数矩阵的行向量空间的维数≥r， 因此它的行向量组可以找到r个线性无关的向量，不妨设为也线性无关．它们正好是矩阵A的r个列向量，则矩阵A的列空间的维数r。≥r。
同理可证r≥rl，所以r=n，即矩阵A行空间的维数等于它列空间的维数。
