若函数?(x)在[0,1]上连续,在(0,1)可导。 (1)若?(1)=?(0)+3,证明:存在ξ∈(0,1),使得?′(ξ)=3。(5分) (2)若?(1)=0,求证方程x?′(x)+?(x)=0在(0,1)内至少有一个实根。(5分)
(1)设 F(x)=?(x)-3x,所以 F(0)=?(0),F(1)= ?(1)-3,又因为?(1)=?(0)+3,所以 F(0)=F(1)。又函数?(x)在[0,1] 上连续,在(0,1)可导,所以 F(x)=?(x)-3x 在[0,1]上连续,在(0,1)可导,所以根据罗尔定理,存在ξ∈(0, 1),使得 F(ξ)=?′(ξ)-3=0,即存在ξ∈(0,1),使得?′(ξ)=3。 (2)证明:设 G(x)=x?(x),有?(1)=0,所以 G(0)=0·?(0)=0,G(1)=1·?(1)=0,所以 G(0)=G(1),又有函数?(x)在[0, 1]上连续,在(0,1)可导,所以 G(x)=妒 0)在[0,1]上连续,在(0,I)可导,所以根据罗尔定理,存在'7∈(0,1), 使得 G′(η)=η?′(η)+?(η)=0,所以方程 x?(x)+?(x)=0 在(0,1)至少有一个实根。