推理分为合情推理和演绎推理。(1)分别阐述合情推理和演绎推理的含义;(5分)(2)举例说明合情推理和演绎推理在解决数学问题上的作用,并阐述两者之间的关系。(10分)
(1)合情推理包括归纳推理和类比推理。归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理;由某类 事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论 的推理。类比推理是由特殊到特殊的推理,由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另 一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理。 演绎推理:演绎推理是由一般到特殊的推理。从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论。 (2)合情推理:例如,在研究球体时,我们会自然想到圆,由于球与圆在形状上有类似的地方,即都具有完美的对 称性,都是到定点的距离等于定长的点的集合,因此我们推测,对于圆的特征,球也可能具有,圆有切线,切线与 圆只交于一点,切点到圆心的距离等于圆的半径等。 演绎推理在学习重要不等式的证明、三角函数变换等内容都有涉及。 从形式上看,合情推理是由部分到整体、个别到一般、特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理过程。 从结论上看,合情推理的结论不一定正确,但演绎推理的结论一定正确。合情推理和演绎推理的主要区别是思维进 程的不同,比如合情推理中的归纳推理的思维进程是从个别到一般,而演绎推理的思维进程是从一般到特殊,是一 个必然得出的思维进程。合情推理和演绎推理有着紧密的联系,一方面,归纳、类比推理的可靠性不仅要用许多实 例去验证,而且也要用较一般的原理、较一般的规律去验证(即用演绎法来验证);另一方面,演绎的前提是过去通 过归纳得出的。任何一门科学的发展都有一个通过观察、试验而积累材料的阶段。当材料积累到一定程度,就要整 理材料,从中概括出普遍性的结论,即提出假说、定理、定律或公式。就数学学习与教学而言,合情推理与演绎推 理是相辅相成的。