已知函数f(x)=(1/3)x3+(1/2)ax2+bx在区间[-1，1)，(1，3]内各有一个极值点．
(1)求a2-4b的最大值；
(2)当a2-4b=8时，设函数y=f(x)在点A(1，f(1))处的切线为l，若l在点A处穿过函数y=f(x)的图像(即动点在点A附近沿曲线y=f(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧)，求函数f(x)的表达式．
(1)因为函数f(x)=(1/3)x3+(1/2)ax2+bx在区[-1，1)，(1，3]内分别有一个极值点，所以f′(x)=x2+ax+b=0在[-1，1)，(1，3]内分别有一个实根， 设两实根为x1，x2(x1﹤x2)，则x1-x2=√a2-4b，且0﹤x2-x1≤4．于是0﹤√a2-4b4，02-4b≤1 6，且当=x1=-1，x2=3，即a=-2，b=-3时等号成立．故a2-4b的最大值是16． （2)解法一：由f′(1)=1+a+6知f(x)在点(1，f(1))处的切线Z的方程是 y-f(1)=f′(1)(x-1)，即y=(1+a+b)x-(2/3)-(1/2)a， 因为切线l在点A(1，f(x))处穿过y=f(x)的图像， 所以g(x)=f(x)-[(1+a+b)x-(2/3)-(1/2)a]在x=1两边附近的函数值异号，则 x=1不是g(x)的极值点． 而g(x)=(1/3)x3+(1/2)ax2+bx-(1+a+b)+(2/3)+(1/2)a,且 g′(x)=x2+ax+b-(1+a+b)=x2-+ax-a-1=(x-1)(x+1+a)． 若1≠-1-a，则x=1和X-=-1-a都是g(x)的极值点． 所以1=-1-a，即a=-2，又由a2-4b=8，得b=-1，故f(x)=(1/3)x3-x2-x． 解法二：同解法一得 g(x)=f(x)-[(1+a+b)x-(2/3)-(1/2)a]=1/3(x-1)[x2+(1+3a/2)x-(2+(3/2)a)]． 因为切线Z在点A(1,f(1))处穿过y=f(x)的图像，所以g(x)在x=1两边附近的函数值异号，于是存在m1，m2(m1﹤1﹤m2)． 当m1﹤x﹤1时，g(x)﹤0，当1﹤x﹤m2时，g(x)﹥0； 或当m1﹤x﹤1时，g(x)﹥0，当1﹤x﹤m2时，g(x)﹤0． 设h(x)=x2+[1+(3a/2)]x-[2(3a+2)]，则 当m1﹤x﹤1时，h(x)﹥0，当1﹤x﹤m2时，h(x)﹥0； 或当m1﹤x﹤1时，h(x)﹤0，当1﹤x﹤m2时，h(x)﹤0． 由h(1)=0知x=1是h(x)的一个极值点，则h(1)=2×1+1+(3a/2)=0， 所以a=-2，又由a24b=8，得b=-1，故f(x)=(1/3)x3-x2-x．
