已知a∈R，讨论函数f(x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数．
f′(x)=ex(x2 +ax+a+1)+ex(2x+a)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]． 令f′(x)=0得x2+(a+2)x +(2a+1)=0． (1)当△=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)﹥0． 即a﹤0或a﹥4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0．有两个不同实根x1，x2，不妨设 x1﹤x2，于是f′(x)=ex(x-x2)(x-x2)． 从而有下表： x (-∞x1) x1 (x1,x2) x2 (x2+∞) f´(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ f (x1)为极大值 ↘ f (x2)为极大值 ↗ 即此时f(x)有两个极值点． (2)当在△=0，即a=0或a=4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根 x1=x2于是f′(x)=ex(x-x1)2． 故当x﹤x1时，f′(x)﹥0；当x﹥x2时，f′(x)﹥0．因此f(x)无极值． (3)当△﹤0，即0﹤a﹤4时，x2+(a+2)x+(2a+1)﹥0，f′(x)=ex[x2+(a+2)z+(2a +1)]﹥0，故f(x)为增函数，此时f(x)无极值． 因此当a﹥4或a﹤0时，f(x)有2个极值点，当0≤a≤4时，f(x)无极值点．
