为自己加油

设函数f(x)可导且满足∫₀^x[2f(t)-1]dt=f(x)-1，求f(x)

(∫₀^x[2f(t)-1]dt)′_xx=(f(x)-1)′_x， 2f(x)-1=f′(x)， 因此f(x)是微分方程y′-2y=-1的解． 又x=0时上∫₀⁰[2f(x)-1]dt=0，故f(0)=1，即y=f(x)是满足初始条件y(0)=1的特解. y=e^∫2dx[∫(-1)•e^-∫2dx•dx+C] =e^2x•[-∫e^-2xd+C] =e^2x•[(1/2)e^-2x+C]=1/2+Ce^2x 以x=0，y=l时代入得C=1，所以所求为 f(x)=1/2(1+e^2x)．