讨论下列曲线的凹凸性，并求出曲线的拐点．
(1)y=x3-3x+1；
(2)y=lnx/x；
(3)y=In(1+x2)；
(4)y=xe-x.
(1)y′=3x2-3，y′′=6x 令y′′=0得x=0 列表 (-∞，0) 0 (0，+∞) y′′ - 0 + y=y(x) 凸 拐点 凹 故凸区间为(-∞，0)，凹区间为(0，+∞)，拐点是(0，1) (2)函数的定义域为(0，+∞) y′=(1-lnx)/x2，y′′=(-3+2lnx)/x3 令y′′=0得x=e2/3 列表 (0，e3/2) e3/2 (e3/2，+∞) y′′ - 0 + y=y(x) 凸 拐点 凹 故凸区间为(0，e3/2)，凹区间为(e3/2，+∞)，拐点是(e3/2，(3/2)e-(3/2)) (3)y′=x/(1+x2)，y′′=(2-2x2)/(1+x2)2 令y′′=0得x=±1 列表 (-∞，-1) -1 (-1,1) 1 (1+∞) y′′ - 0 + 0 - y=y(x) 凸 拐点 凹 拐点 凸 故凸区间为(-∞，-1)和(1，+∞)，凹区间为(-1，1)，拐点是 (-1，ln2)，(1，ln2)． (4)y′=(1-x)e-x，y′′=(x-2)e-x 令y′=0得x=2 列表 (-∞，2) 2 (2，+∞) y′′ - 0 + y=y(x) 凸 拐点 凹 故凸区间为(-∞，2)，凹区间为(2，+∞)，拐点是(2，2e-2)
