利用单调性证明不等式：
(1)当x＞1时，ex＞ex；
(2)当x＞0时，1/(1+x)＜ln(1+x)＜x；
(3)当x＞4时，2x＞x2；
(4)当x＞0时，1+xln(x+√(1+x2))＞√(1+x2)．
(1)设f(x)=ex-ex，则f(x)在[1，+∞)上连续，在(1，+∞)内可导并且在(1，+∞)内f′(x)=ex-e＞0 所以 f(x)在[1，+∞)上单调增加，故当x＞1时 f(x)＞f(1)=0 即ex＞ex． (2)设f(x)=x-ln(1+x)，则f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，并且在(0，+∞)内f′(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)＞0． 所以 f(x)在[0，+∞)上单调增加，故当x＞0时， f(x)＞f(0)=x，即x＞In(1+x) 设g(x)=ln(1+x)-x/(1+x)，则g(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，并且在(0，+∞)内g′(x)=1/(1+x)-1/(1+x)2=x/(1+x)2＞0 所以 g(x)在[0，+∞)上单调增加，故当x＞0时， g(x)>g(0)=0，即ln(1+x)＞x/(1+x)， 综上所述，当x＞0时，x/(1+x)＜ln(1+x)＜x ． (3)设f(x)=2x-x2，则f(x)在[4，+∞)上连续，在(4，+∞)内可导，并且在(4，+∞)内f(x)=2xln2-2x＞0， 所以 f(x)在[4，+∞)上单调增加，故当x＞4时， f(x)＞f(x4)=0，即2x＞x2． (4)设f(x)=1+xln(x+√(1+x2)-√(1+x2))，则f(x)在 [0，+∞]上连续，在(0，+∞)内可导，并且在(0，+∞)内． f′(x)=ln(x+√(1+x2)+x•[(1+x/√(1+x2)]/[x+√(1+x2)]-x/√(1+x2) =ln(x+√(1+x2))＞0 所以 f(x)在[0，+∞)上单调增加，故当x＞0时， f(x)＞f(0)=0，即1+xln(x+√(1+x2))＞√(1+x2)
