求A=
(624
232
426)
的特征值和线性无关的特征向量．
先求出A的特征多项式 |λE-A|= |λ-6 -2 -4| | -2 λ-3 -2| | -4 -2 λ-6| = |λ-2 -2 -4 | | 0 λ-3 -2| |2-λ -2 λ-6| = |λ-2 -2 -4 | | 0 λ-3 -2 | | 0 -4 λ-10| =(λ-2)[(λ-3)(λ-10)-8] =(λ-2)(λ2-13λ+22) =(λ-2)2(λ-11)， 因此A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=11． 用来求特征向量的齐次线性方程组为 (λE-A)x= (λ-6 -2 -4 -2 λ-3 -2 -4 -2 λ-6) (x1 x2 x3) =0． 属于λ1=λ2=2的特征向量p= (x1 x2 x3) 满足 {-4x1-2x2-4x3=0 {-2x1-x2-2x3=0， {-4x1-2x2-4x3=0 对其系数矩阵作初等行变换 (-4 -2 -4 -2 -1 -2 -4 -2 -4) → (2 1 2 0 0 0 0 0 0) 得同解方程组x2=-2(x1+x3)． 可得A的属于特征值2的两个线性无关的特征向量 p1= (1 -2 0)， p2= (0 -2 1) 属于λ=11的特征向量p= (x1 x2 x3) 满足 {5x1-2x2-4x3=0 {-2x1+8x1-2x3=0， {-4x1-2x2+5x3=0 消去前两个方程中的x3，可得9x1-18x2=0，即x1=2x2．消去后两个方程中的x1，可得 18x2-9x3=0，即x3=2x2，于是可求出A的属于特征值11的特征向量 p3= (2 1 2)
