为自己加油

设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，若AB=0，则r(A)+r(B)≤n．

证明：令B=(β₁，β₂，…，β_s)，则AB=A(β₁，β₂，…，β_s)=(Aβ₁，Aβ₂，…，Aβ_s)=(0，0，…，0)，故Aβ_i=0，因此β_i(i=1，2，…，s)即为Ax=0的解向量． 当r(A)=n时，Ax=0只有零解，故β₁=β₂=…=β_s=0，即r(B)=0，此时r(A)+r(B)=n+0=n． 当r(A)＜n时，Ax=0存在基础解系，则β₁，β₂，…，β_s可由Ax=0的基础解系线性表出，则r(β₁，β₂，…，β_s)≤n-r(A) ⟹r(B)≤n-r(A)，即r(A)+r(B)≤n．