若ξ1，ξ2，ξ3是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，证明ξ1，ξ2+ξ3，ξ1+ξ2+ξ3也是方程组Ax=0的基础解系．
证明：由ξ1，ξ2，ξ3是Ax=0的基础解系知Aξ1=Aξ2=Aξ3=0，故A(ξ1+ξ2)=Aξ1+Aξ2=0，A(ξ1+ξ2+ξ3)=Aξ1+Aξ2+Aξ3=0，因此ξ1，ξ1+ξ2，ξ1+ξ2+ξ3为Ax=0的解，而(ξ1，ξ1+ξ2，ξ1+ξ2+ξ3)=(ξ1，ξ2，ξ3) (1 1 1 0 1 1 0 0 1)， |1 1 1| |0 1 1| |0 0 1| =1≠0，故ξ1，ξ1+ξ2，ξ1+ξ2+ξ3线性无关，所以ξ1，ξ1+ξ2，ξ1+ξ2+ξ3是Ar=0的基础解系．
