利用克拉默法则，将向量β由向量组α1，α2，α3线性表出，其中
α3=(3，-3，2)T，α2=(-2，1，2)T，α3=(1，2，-1)T，β(4，5，6)T．
设 x1α1+x2α2+x3α3=β， 即 {3x1-2x2+x3=4 {-3x1+x2+2x3=5， {2x1+2x2-x3=6 |A|= |3 -2 1| |-3 1 2| |2 2 -1| = |3 -2 1| |-3 1 2| |5 0 0| =-25， |A1|= |4 -2 1| |5 1 2| |6 2 -1| =-50， |A2|= |3 4 1| |-3 5 2| |2 6 -1| =-75， |A3|= |3 -2 4| |-3 1 5| |2 2 6| =-100， 则方程组的解为 {x1=|A1|/|A|=-50/-25=2 {x2=|A2|/|A|=-75/-25=3， {x3=|A3|/|A|=-100/-25=4 故β=2α1+3α2+4α3．
