用正交变换化下列二次型为标准形，并写出所作的正交变换．
f(x1，x2)=2x12+2x22-6x1x2．
二次型的矩阵是 A= (2 -3 -3 2) 矩阵A的特征多项式为 |λE-A|= |λ-2 3 | | 3 λ-2| =(λ-5)(λ+1)， 于是A的特征值为λ1=5，λ2=-1． 对于特征值λ1=5，解方程组(5E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 5E-A= (3 3 3 3) → (1 1 0 0) 得基础解系α1= (-1 1)， 得A的属于特征值λ1=5的一个特征向量为α1，单位化得β1 = (-1/√2 1/√2) 对于特征值λ2=-1，解方程组(-E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 -E-A= (-3 3 3 -3) → (1 -1 0 0) 得基础解系α2= (1 1)， 得A的属于特征值λ2=-1的二个特征向量α2，单位化得β2= (1/√2 1/√2 令Q= (-1/√2 1/√2 1/√2 1/√2)， 则QTAQ= (5 -1)， 于是作正交变换x=Qy，则有f=5y12-y22．
