证明下列不等式．
(1)当x＞1时，2x＞3-(1/x)．
(2)当x≥0时，2xarctanx≥In(1+x2)．
(3)当x≥0时，1+xln(x+√1+x2)≥√1+x2)
(1)设f(x)=2√x一3+(1/x)，f'(x)=1/√x一1/√x2=(x√x-1)/x2，当x＞l时，f'(x)＞0，故f(x)单调增加，又f(1)=2-3+1=0，故当x＞1时，f(x))＞0，即2√x＞3-(1/x)，(x＞1)． (2)设f(x)=2xarctax-ln(1+x2)，因f'(x)=2arctanx+[2x/(1+x2)]-[2x/(1+x2)]=2arctanx＞0，(x＞0)，故f(x)在x>0时是单调增加的．又f(0)=2•0•arctan0-In(1+02)=0，故当x≥0时．f(x)≥0．即2xarctanx≥ln(1+x2)． (3)设f(x)=1-(√1+x2)+xln(1+√1+x2))， f'(x)=-(x/√1+x2)+ln(x+√1+x2)x•1/x+√1+x2(1+x/√1+x2) =In(x+√1+x2＞ln1=0，(x＞0)， 知f(x)在x＞0时是单调增加的．又f(0)=0，故f(x)≥0(x≥0)． 即 1+xln(x+√1+x2)≥√1+x2
