求微分方程xy′′+y′=x2满足初始条件y∣x=1=1，y′∣x=1=1/3的特解．
设u=y′，则y′′=u′，代入原方程可得xu′+u-=x4，此为一阶线性微分方程，化为可直接利用公式的情形u′+(1/x)′=x，由此得此方程通解为 u=e-∫(1/x)dx(∫xe∫(1/x)dx+C1) =(1/x)[(1/3)x3+C1]=(1/3)x2+C1/x， 即y′=u=(1/3)x2+C1/x．由条件y′∣x=1=1/3得C1=0，所以y′=(1/3)x2． 再积分得y= ∫(1/3)x2dx=(1/9)x3+C2．又由y ∣x=1=1，得C2=8/9， 于是所求的特解为y=(1/9)x3+8/9．
