利用某种仪器测量圆形零件直径为真值μ时,所发生的随机误差的分布在独立试验过程中不变,设X1,X2,…,Xn…是各次测量的结果.那么能否取1/n∑nk=i(Xk-μ)2作为仪器误差的方差σ2的近似值?(设该仪器无系统偏差)
若对任何ε>0,有 limn→∞P(∣1/n∑nk=1(xk-μ)2-σ2∣﹤ε)=1 则当n充分大时,有σ2≈(1/n∑nk=1(xk-μ)2 下面讨论上式是否成立. 由题设知,X1,X2,…,Xn…独立同分布,即有 E(X1)=E(X2)=…=E(Xn)=… D(X1)=D(X2)=…=D(Xn)=… 于是,仪器的误差的期望与方差为: E(Xk-μ)=E(Xk)-μ; D(Xn-μ)=D(Xk) (K=1,2…). 再引入新随机变量 Yk=(Xk-μ)2 (k=1,2…). 显然Y1,Y2,…,Yn,…也是独立同分布的,于是 E(Yk)=E(Xk-μ)2=E(X2k-2Xkμ+μ2) =E(X2k-2μE(Xk)+μ2 =D(Xk)+(E(Xk)2-2μE(Xk)+μ2 =D(Xk)+[E(Xk)-μ]2. 由于仪器无系统偏差,故 E(Xk-μ)=0,即E(Xk)=μ; E(Yk)=D(Xk)=D(Xk-μ)=σ2,(k=1,2…) 由独立同分布序列的切比雪夫大数定律知,对任意ε﹥0,有 limn→∞P(∣1/n∑nk=1Yk-E(Yk)∣﹤ε)=1 即 limn→∞P(∣1/n∑nk=1(xk-μ)2-σ2∣﹤ε)=1 可见当n充分大时,1/n∑nk=1(xk-μ)2可作为σ2的近似值.